《武汉工程大学学报》 2008年04期
112-113
出版日期：2008-04-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
全最小二乘法在三坐标测量中的应用
0引言三坐标测量机作为一种三维的自动化、高精度几何量测量设备，在机械、仪器、电器、动力机械等领域得到广泛应用.而空间直线是精密测量中最基本的、也是最重要的测量对象，多年来一直有学者致力于这方面的研究.文献［1］对空间曲线测量的法向偏差进行了讨论，文献［2］对两平行面的平行度采用最小二乘法处理的误差进行了讨论.本文从误差定义出发用全最小二乘法求解，对两平面平行度进行误差分析.全最小二乘法的思想是Deming于1946年提出，Golub（1980）用奇异值分解法讨论了全最小二乘法的求解和性质.文献［3］讨论了全最小二乘法在参数估计中的应用.1全最小二乘法原理参数拟合一般采用最小二乘法，但是最小二乘法仅考虑因变量（通常为y）方向的误差而将自变量（通常为x）的误差忽略不计.下面介绍一种以测量点到被拟合对象距离平方和最小为条件的拟合方法.全最小二乘法又被称为整体最小二乘法.假设被拟合的直线或曲线在直角坐标系中关系为y=f（x），x为自变量，y为因变量.对x、y进行n次测量，第i次测量值为（xi，yi），则：xi=x(i+Δxi
yi=y(i+Δyi（1）其中x(i，y(i分别为x，y的真实值，Δxi，Δyi为的绝对误差.如果Δxi相对Δyi很小且可以忽略，可以采用最小二乘法.即：min∑ni=1Δy2i（2）以式（2）为条件拟合.在实际测量中，Δxi与Δyi一般相差不大，均不可以忽略.全最小二乘法以各点到被拟合对象的距离平方和最小为拟合条件拟合空间直线，即：min∑ni=1(xi-x(i)2+（yi-y(i）2（3）2全最小二乘法在空间直线拟合中
的分析在直角坐标系中对某一直线第i次测量坐标为Pi（xi，yi，zi），xi，yi，zi均存在等精度测量误差.设待拟合直线方程为x-x0a=y-y0b=z-z0c（4）
式（4）中（x0，y0，z0）为直线上的任意一点，（a，b，c）为直线的方向向量.设P^i(x(i,y(i,z(i)为第i次测量点的理想点坐标.根据误差定义（误差是指测得值与真实值之差），则点的位置误差应为
(xi-x(i)2+(yi-y(i)+(z-z(i)2
因此拟合条件为min∑ni=1(xi-x(i)2+(yi-y(i)2+(zi-z(i)2（5）先将测量点Pi(xi,yi,zi)以点到平面的距离平方和最小为条件拟合一个abc，则拟合条件为
min∑ni=1(xi-x(′i)2+(yi-y(′i)2+(zi-z(′i)2(6)
式（6）中P(′（x(′i，y(′i，z(′i）为测量点Pi（xi,yi,zi）向平面abc投影得到的投影点坐标，则有Pi,P(′i⊥平面abc（7）
对平面abc内任意一直线l′，即l′abc，有Pi,P′i，l′=0（8）设拟合得到的平面abc的方程为z=a1x+a2y+d（a1,a2，d为参数）（9）再将测量点在这个平面上的投影点P(′i（x(′i，y(′i，z(′i）依据点到直线的距离平方和最小为条件拟合一条直线l，则拟合条件为
min∑ni=1（x(′i-x(i）2+（y(′i-y(i）2+（z(′i-z(i）2(10)其中P(i（x(i，y(i，x(i）为点P(′i（x(′i，y(′i，z(′i）向直线投影得到的投影点坐标，则有P(i P(′i⊥l（11）即：Pi,P′i，l′=0（12）
则拟合得到的直线l方程为x-x1a′=y-y1b′=z-z1c′（13）
第4期胡学军，等：全最小二乘法在三坐标测量中的应用
武汉工程大学学报第30卷
式（12）中a′，b′，c′为参数，如图1所示.图1空间直线拟合示意图
Fig.1The explanatory drawing of space linear fit 图1中点A、B、C、D为测量点，平面abc是由点A、B、C根据点到直线距离平方和最小为条件拟合得到的平面，点a、b、c、d为点A、B、C、D向平面abc投影得到的投影点，直线l是根据点到直线的距离平方和最小为条件拟合得到的直线，a′、b′、c′、d′分别是点a、b、c、d向直线l投影点得到的投影点.由以上条件可知Aa⊥平面abc、Bb⊥平面abc、Cc⊥平面abc、Dd⊥平面abc，aa′⊥l、bb′⊥l、cc′⊥l、dd′⊥l，所以Aa′⊥lBb′⊥lCc′⊥lAa′2=Aa2+aa′2，Bb′2+bb′2Cc′2=Cc2+cc′2， Dd′2=Dd2+Dd′2即直线l满足测量点与对应的理想点的距离平方和最小.3全最小二乘法在两平面平行度测
量中的应用如图（2）所示，测量两平行面平行度的距离并分析其误差，一般三坐标测量机首先测量基准面S1上的若干点，分析得到一个最小二乘基准面A.然后在另一个被测面S2上测量若干点计算得到两一个最小二乘平面B，最后分析平行面A和B的误差和距离.图2两平面平行度示意图
Fig.2The sketch map of two parallels parallel scale表1给出了测量数据及最小二乘法和全最小二乘法误差.表1测量及处理后数据
Table 1The data after meterage and processing(mm)
序号XYZD1D21172.595562.83466.1620.019 760.022 72203.973525.79066.1270.014 600.011 33234.613489.64866.1260.021 430.022 74265.190453.52066.1560.018 110.020 05 295.962417.19266.1300.006 560.005 66324.378383.66166.1280.011 940.014 77351.642351.45766.1350.001 600.003 58386.757309.96966.1170.025 750.022 79409.565283.08066.1300.003 610.007 810440.815246.17466.1530.024 310.022 711478.072202.18066.1230.010 780.080 712511.338162.94966.1240.017 760.022 7∑ni=1D20.003 2770.009 937D1为各测量点到用全最小二乘法拟合的误差，其中最大距离为0.025 75 mm；D2为各测量点到用最小二乘法拟合的误差，其中最大距离为0.080 7 mm.4结语以上采用全最小二乘法拟合空间直线即以测量点到拟合直线的距离为误差，求其整体最小，同时，还对两平行面的平行度误差进行了比较，说明了这种方法简单明了且测量精度高，非常适用于三坐标机测量.