《武汉工程大学学报》 2009年05期
93-94
出版日期：2009-05-28
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
一致矩阵的特征性质
层次分析的理论基础是两类矩阵和它们的特征值与特征向量，这两类矩阵就是正互反矩阵和一致矩阵.在层次分析中，我们碰到的是正互反矩阵A，A近似为一致矩阵，那么必须检验A的一致性.本文给出了正互反矩阵为一致矩阵的充要条件，并据此给出了一种新的一致性检验的指标.1定义与引理设A=（aij）n×m，若aij＞0，1≤i≤n，1≤j≤m，则称A为正矩阵，特别，当m=1时，称A为正向量.设A=（aij）n×m为正矩阵，若aij=a-1ji，1≤i，j≤n，则称A为正互反矩阵或比较矩阵.设A=（aij）n×m为正矩阵，若aij=aikakj，k=1，2，…，n，1≤i，j≤n，则称A为一致矩阵.引理［13］（满秩分解）设A为n×m矩阵，且rank（A）=r，则存在n×r的列满秩阵F与r×m的行满秩阵A=FG.2一致矩阵的特征性质以下设A=（aij）n×n为正矩阵.定理1［46］A为一致矩阵的充分必要条件为存在正向量W=（w1，w2，…，wn）T，使得aij=wiwj，1≤i，j≤n.证：必要性.设A为一致矩阵，则aij＞0，aik akj=aij，有aii=aikakik=ia2ii，于是aii=1，aijaji=aii=1，即aij=a-1ji，从而aij=aikakj=aikajk，k=1，2，…，n，取k=1，并令wi=ai1，1≤i≤n，故aij=ai1aj1=wiwj，1≤i，j≤n.充分性.若aij=wiwj，wi＞0，有aikakj=wiwkwkwj=wiwj=aij，1≤i，j，k≤n，故A为一致矩阵.
可见A为一致矩阵的充分必要条件为A=w1
w2
wn（w-11，w-12，…，w-1n），wi＞0，1≤i≤n.推论1设A为一致矩阵，则rank（A）=1.定理2设A为正互反矩阵，若rank（A）=1，则A为一致矩阵.证：A=（aij）n×n，aij＞0，aij=a-1ji，1≤i，j≤n，由rank（A）=1，存在u=（u1，u2，…，un）T，v=（v1，v2，…，vn）T，使A=u1
u2
un（v1，v2，…，vn）=（uivj）n×n，
aij=uivj，由aii=1有uivi=1，即vi=u-1i，1≤i≤n，从而A=u1
u2
un（u-11，u-12，…，u-1n）=（uiu-1j）n×n，
并由aij=uiuj>0可取ui＞0，1≤i≤n，从而A为一致的.推论2［78］设A为正互反矩阵，但非一致的，则rank（A） ＞1.由此，我们可以建立一种新的一致性检验，称KI=rank（A-1）n-1
为A的一致性的秩检验指标，显然0≤KI≤1，当KI越小时，A的一致性越好，否则越差，我们也可以与sauty的一致性检验指标［1］联合使用，将KCR=KI·CR作为A的一致性检验指标.第5期〗胡端平，等：一致矩阵的特征性质
武汉工程大学学报第31卷
定理3A=（aij）n×n为正矩阵，则A为一致矩阵的充分必要条件为uiui=1，且rank（A）=1，1≤i≤n.证：必要性显然.下证充分性.由rank（A）=1，则存在（u1，u2，…，un）T和（v1，v2，…，vn）T，ui＞0，vi＞0，1≤i≤n，使得A=u1
u2
un（v1，v2，…，vn）=（uivj）n×n，
由aii=1有uivi=1，即vi=u-1i，1≤i≤n，故A=u1
u2
un（u-11，u-12，…，u-1n）=（uiu-1j）n×n，
从而A为一致矩阵.