《武汉工程大学学报》  2009年09期 86-88   出版日期：2009-09-28   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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随机环境马氏链的Ψ一不可约下不变测度性质



1引言及符号设X为任一可数无穷集或有限集，A为X的一切子集，于是有可测空间（X,A）．再设（Θ，B0）是任一可测空间。令Z={0,±1,…}为整数集，N=Z+={0,1,2,…}为非负整数集Ω=ΘZ.Θn:Ω→Θ为坐标函数（n∈Z）.Blkσ(Θn,k-1<n<l+1)(-∞≤k≤l≤∞),B=B+∞-∞. 令T：Ω→Ω为推移算子，即对任何θ=(θn,n∈N)∈Ω,T(θ)=(θ′),θn′=θn+1,n∈Z. 令π为可测空间上任一概率测度，且满足πT-1=π.于是｛Θn,n∈Z｝是概率空间（Ω，B，π）上的取值于Θ的严平稳序列.Cogburn分别在文献［1］中讨论了随机环境的马氏链，并和其他学者对随机环境马氏链作了讨论。参见文献［1～6］,本文所有的符号和定义参见［1~3］，下面定义本文中用到的几个常见的特征数：
L ((x,θ→);F)=P(x,θ→)∪∞n=1(Xn,Tnξ→)∈F
Q ((x,θ→);F)=P(x,θ→)∩∞n=1∪∞n=k(Xn,Tnξ→)∈F
G ((x,θ→);F)=∑∞n=1∑y∈XPn(θ→;x,y)l(F)y(Tnξ→)
F(n) ((x,θ→);F)=P(x,θ→)(τF=n),
其中τF表示首次到达集合F的时刻.
Kaε((x,θ→);F)=(1-ε)∑∞n=0εnPn((x,θ→);F)
U((x,θ→);F)=∑∞n=0Pn((x,θ→);F).
2φ-不可约的定义及最大不可约测
度Ψ的存在性定义1设φ是ε上的一个测度，称X→是φ—不可约的，只要φ(F)>0，总有，对∏a.e(x,θ→)∈E,L((x,θ→);F)>0.可以得到下面性质，如果X→对一些σ有限测度φ，是φ—不可约的，则存在ε上的测度Ψ，X→是Ψ—不可约的;且对任意其他测度φ′，X→是φ′—不可约，当且仅当Ψφ′，所以可以定义.定义2称上面的概率测度Ψ是最大不可约测度，称链X→是Ψ一不可约，如果它存在一些测度φ是φ—不可约且Ψ是最大不可约测度.
3Ψ—不可约下次不变测度及不变
测度的性质定义3称μ为次不变测度，且满足,
μ(A)≥∫Eμ(d(x,θ→)P((x,θ→);A)),A∈ε.
称μ为不变测度，若
μ(A)=∫Eμ(d(x,θ→)P((x,θ→);A)),A∈ε.一般而言, 次不变测度并不一定是不变测度,对不变测度成立的性质次不变测度并不一定成立,但如果X→是Ψ—不可约的,则有下面的性质.主要定理如果X→是Ψ—不可约的，μ是任一测度，且μ(E)<∞，则μ是次不变测度的充要条件为存在A∈E,使得∏A:lim1n∑n-1k=0Pk(θ→;x,x)>0>0.并且Ψμ.证明:先证明必要性，实际上，μ(E)<∞,故存在μ(A)∈E,使得μ(A)<∞.又μ是次不变测度,则有,
μ(A)≥∫Eμ(d(x,θ→)P((x,θ→);A)),A∈ε.下面证明等号成立,否则的话,
μ(A)≥∫Eμ(d(x,θ→)P((x,θ→);A)).
则μ(E)=μ（A）+（AC）≥
∫Eμ(d(x,θ→)P((x,θ→);A))+
∫Eμ(d(x,θ→))P((x,θ→);AC)=
∫Eμ(d(x,θ→))P((x,θ→);E)=
∫Eμ(d(x,θ→))=μ(E)所以，如果μ(E)<∞，则可得矛盾，即μ是不变测度.第9期杨雪帆，等：随机环境马氏链的Ψ 一不可约下不变测度性质
武汉工程大学学报第31卷
对不变测度μ,设其密度函数为φ,则F0={φ>0}为闭集.否则的话,存在(x,θ）∈F0,(y,Tθ)F0,使P((x,θ);(y,tθ))>0.再由φ(x,θ)>0及不变测度的性质有:φ(y,T,θ)=φP(y,Tθ),又由马氏性,有
φP(y,Tθ)=∑z∈Xφ(z,θ)P((z,θ);
(y,Tθ))>φ(x,θ)P((x,θ)P((x,θ);
(y,Tθ))>0,
与(y,Tθ)F0矛盾，故F0为闭集.又取f=1{x}×Ω,则 ,由Pkf(z,θ)=Pk(θ;z,x),文献［3］P911定理可得lim1n∑n-1k=0Pk(θ;z,x)=μ{1｛x｝×Ω(z,θ)},取A=｛(x,θ:μ｛1｛x｝×Ω(z,θ)｝=0｝.则由μ的不变测度性可得
∫(A)xφ(x,θ)π(d,θ)=μ(｛x｝×Ω)=
∫A1{x}×Ωdμ=0
由F0={φ>0}得AFC0,亦即F0AC,即F0lim1n∑n-1k=0Pk((x,θ）,x)>0.故(x,θ)∈F0,有lim1n∑n-1k=0Pk(θ;x,x）>0.从而,
(x,θ)∈F0:lim1n∑n-1k=0Pk(θ）;x,x)>0=F0
因为F0=｛φ>0｝,μ∏及μ(F0)>0,所以∏(F0)>0,而
(x,θ)∈F0:lim1n∑n-1k=0Pk(θ）;x,x)>0(x,θ)∈A:lim1n∑n-1k=0Pk(θ）;x,x)>0
故∏(x,θ)∈A:lim1n∑n-1k=0Pk(θ）;x,x)>0>0.必要性得证.下面证明充分性.反过来,若
∏(x,θ)∈A:lim1n∑n-1k=0Pk(θ）;x,x)>0>0,则
∏(x,θ)∈A:sup limysupn1n∑n-1k=0Pk(θ）;x,x)>0
>0,由文献［4］P913定理可得, E上的不变测度族非空,而不变测度一定是次不变测度,所以一定存在次不变测度μ.充要性得证.下面证明Ψμ,实际上:假设A∈M，若Ψ(A)>0，故由Ψ—不可约性得，(x,θ)∈E ，总有 Ka12（（x,θ）;E)>0，又由次不变测度性质得
μ(A)≥∫Eμ(d(y,θ′))P((y,θ′);A)…≥∫Eμ(d(x,θ′))Pn((x,θ);A).
即12μ(A)≥∫Eμ(d(x,θ′))12nPn((x,θ);A).对n从0到∞求和得μ(A)≥∫Eμ(d(x,θ′))Ka12((x,θ);A)，又由Ka12((x,θ);E)>0,及(x,θ)的任意性得∫Eμ(d(x,θ′))Ka12((x,θ);A)>0,故Ψ(A)>0,则μ(A)>0.此即Ψμ.推论对于如果X→是Ψ—不可约的，μ是任一不变测度，其密度函数为φ,则F={φ>0}不依赖于μ的选择.证明:取f=1{x}×Ω ,
则Pkf(z,θ)=Pk(θ,z,x),
μ(F)=∫eφ(x,θ)d(x,θ)>0,且μ{f(x,θ)}=μ(A),(x,θ)∈A.由文献［3］P911定理可得,对于不同的μ,F=(z,θ)∶1nlim∑n-1k=0Pk(θ;z,x)>0不依赖于μ的选择,命题得证.