《武汉工程大学学报》 2010年05期
108-110
出版日期：2010-05-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
指数型灰关联分析模型
0引言灰色系统［1］自创建以来，在社会系统［2］、经济系统［2］、农业系统［34］、生态系统等各种大系统以及工程评估方面［5］都得到了很好地应用，其中关联分析［6］在对动态过程发展态势进行量化比较分析起了十分重要的作用，在此分析模型中，其核心部分是关联系数的计算公式.虽然此模型应用广泛，但其存在一定的弊端，不能反应发展态势的波动性.因此，有必要对此模型加以改进，使之更具有合理性.关联分析：对于一个参考数列x0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))，有几个比较数列xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，(i=1,2,…,m),将xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n)),(i=0,1,2，…，m)作初值化处理xixi（1）=1xi（1）（xi（1），xi（2），…，xi（n）），（i=0，1，2，…，m），并将xixi（1）=1xi（1）（xi（1），xi（2），…，xi（n）），（i=0，1，2，…，m）仍然记为xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n）），（i=0，1，2，…，m），则xi（1，2，…，m）对x0在k时刻的关联系数为
ξi（k）=［ζmaximaxj|x0（j）-xi（j）|］×
［|x0（k）-xi（k）|+ζmaximaxj|x0(j)-xi(j)|］-1
其中xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n)),(i=0,1,2,…,m)为初值化后的数列，分辨系数ζ一般在0与1之间选取.xi(i=1,2,…,m)对x0的关联度为
ri=1nnk=1ξi（k）（i=1，2，…，m）例1设有三组数列如表1.表1原始数据表A
Table 1Original data table A
1234x011.31.21.5x111.41.31.6x211.21.31.4初值化数列不变.取ζ=0.5计算得xi(i=1,2)对x0在k时刻的关联系数分别为
ξ1（1）=1，ξ1（2）=0.333,
ξ1(3)=0.333,ξ1(4)=0.333;
ξ2（1）=1，ξ2（2）=0.333,
ξ2(3)=0.333,ξ2(4)=0.333.
xi(i=1,2)对x0的关联度分别为
r1=0.5,r2=0.5
x1,x2对x0的关联度相同.而可以明显地观察到（除第一个数据以外）x1的各项是x0的与之相对应的项增加了0.1；x2的各项有的是x0的与之相对应的项增加了0.1，有的是减少了0.1，在x0的上下波动，正负偏差相互抵消，使得关联程度增加.所以可以认为x1对x0的关联度小于x2对x0的关联度.因此，有必要对关联系数进行改进以免类似的现象出现.1指数型灰关联分析模型设有m+1个数列xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n）），（i=0，1，2，…，m），将它们处置化处理仍记为xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n）），（i=0，1，2，…，m），再将xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n）），（i=0，1，2，…，m）各项取指数得原数列的指数数列exp（xi）=（exp（xi（1）），exp（xi（2）），…，exp（xi（n））），（i=0，1，2，…，m）.定义xi（i=1，2，…，m）对x0在k时刻的指数型关联系数为
Eξi(k)=［ζmaximaxj|exp(x0(j))-exp(xi(j))|］×
［|exp（x0（k））-exp（xi（k））|+
ζmaximaxj|exp(x0(j))-exp(xi(j))|］-1
其中分辨系数ζ一般在0与1之间选取.xi(i=1,2,…,m)对x0指数型关联度为
Eγi=Er(x0,x1)=1nnk=1Eξi(k)
(i=1,2,…,m)定理设yi=xi+b，即yi（k）=xi(k)+b(k=1,2,…,n;i=1,2,…,m),其中b为常数，记xi,yi(i=1,2,…,m)对x0,y0在k时刻的指数型关联系数分别为Eξi(k)和Eξ*i(k)，xi,yi(i=1,2,…,m)对x0，y0的指数型关联度分别为Er（x0，xi）和Er*（y0,yi），则
Eξ*i(k)=
［ζmaximaxj|exp(y0(j))-exp(yi(j))|］×
［|exp（y0（k））-exp（yi（k））|+
ζmaximaxj|exp(y0(j))-exp(yi(j))|］-1=
［ζmaximaxj|exp(x0(j)+b)-exp(xi(j)+b)|］×
［|exp（x0（k）+b）-exp（xi（k）+b）|+
ζmaximaxj|exp(x0(j)+b)-
exp(xi(j)+b)|］-1=
［ζmaximaxj|exp(x0(j))-exp(xi(j))|］×
［|exp（x0（k））-exp（xi（k））|+
ζmaximaxj|exp(x0(j))-exp(xi(j))|］-1=Eξi(k)
Er*(y0,yi)=1nnk=1Eξ*i(k)=
1nnk=1Eξ*i(k)=Er(x0,xi)
(i=1,2,…,m)2模型的理论基础记X={x|i=0，1，2，…，m}
Δoi（j）=|expx0（j）-expxi（j）|
I={1，2，…，m}，J={1，2，…，n}
Δoi（max）=maximaxjΔoi（j），
Δoi（min）=miniminjΔoi（j），
Δ={Δoi（j）|i∈I，j∈J},
ΔGR={Δ,ζ,Δoi((max），Δoi（min)}.
则Eγi满足灰关联公理［7］:a.规范性
0<Eγ(x0,xi)≤1
Eγ(x0,xi)=1x0=xi
Eγ（x0，xi）=0x0,xi∈Φb.偶对对称性
Eγ(x,y)=Eγ(y,x)iff X={x,y}c.整体性
Eγ(xi,xj)≠oftenEγ(xjxi)
xi，xj∈X={xi|i=1，2，…，m；m>3}d.接近性差异信息Δoi(j)越小，则Eγ(x0(j),xi(j))越大,即
Δoi(j)↓Eγ(x0(j),xi(j))↑
所以Eγ(x0,xi)为灰关联映射.第5期杨建华，等：指数型灰关联分析模型
武汉工程大学学报第32卷
3模型的比较例2在例1中取ζ=0.5计算得xi(i=1,2)对x0在k时刻的指数型关联系数分别为
Eξ1(1)=1,Eξ1(2)=0.381,
Eξ1(3)=0.403,Eξ1(4)=0.333;
Eξ2(1)=1,Eξ2(2)=0.403,
Eξ2(3)=0.403,Eξ2(4)=0.356.
xi(i=1,2)对x0的指数型关联度分别为
Er1=0.529,Er2=0.540;Er1<Er2例3设有已初值化的4个数列如表2［6］.表2原始数据表B
Table 2Original data table B
x011.122.2534x111.1661.83422.3143x211.1251.0751.3751.6251.75x3110.70.80.91.2取ζ=0.5计算得xi(i=1,2,3)对x0在k时刻的关联系数分别为
ξ1(1)=1,ξ1(2)=0.955,ξ1(3)=0.894,
ξ1(4)=0.848,ξ1(5)=0.679,ξ1(6)=0.583;
ξ2(1)=1,ξ2(2)=0.982,ξ2(3)=0.602,
ξ2(4)=0.645,ξ2(5)=0.797,ξ2(6)=0.383;
ξ3(1)=1,ξ3(2)=0.933,ξ3(3)=0.52,
ξ3(4)=0.49,ξ3(5)=0.4,ξ3(6)=0.34.
xi(i=1,2,3)对x0的关联度分别为
r1=0.827,r2=0.73,r3=0.613;r1>r2>r3
取ζ=0.5计算得xi（i=1，2，3）对x0在k时刻的指数型关联系数分别为
Eξ1（1）=1，Eξ1（2）=0.992,Eξ1（3）=0.958，
Eξ1（4）=0.924，Eξ1（5）=0.72，Eξ1（6）=0.426;
Eξ2（1）=1，Eξ2（2）=0.997,Eξ2（3）=0.852，
Eξ2（4）=0.823，Eξ2（5）=0.631，Eξ2（6）=0.344;
Eξ3（1）=1，Eξ3（2）=0.989,Eξ3（3）=0.827，
Eξ3（4）=0.779，Eξ3（5）=0.593，Eξ3（6）=0.333.
xi(i=1,2,3)对x0的指数型关联度分别为
Er1=0.837,Er2=0.774,
Er3=0.754,Er1>Er2>Er3.4结语指数型关联分析模型对动态过程发展态势进行量化比较分析时克服了一般关联分析模型的不足，考虑了数据的波动对关联度的影响，提高了模型的分辨率，因此其较一般关联分析模型更具有合理性.