0引言1974年,Gurtin M.E.和MacCamy R.C.用特征线方法讨论了一

类具有年龄结构的单种群模型解的存在唯一性,并且用扰动理论证

明了此模型解的渐近稳定性［1］.2002年,Farkas M.讨论了这类具

有年龄结构单种群和多种群模型平衡解的渐近稳定性,并建立了平

衡解的渐近稳定性的判别准则［2］.2004至2005年,Farkas J.Z.

更深入的研究了这个判别准则.在文献［3~4］中,Farkas J.Z.讨论

了具有大小结构的单种群模型的平衡解的渐近稳定性.2007年,文献

［5］用单调方法研究了一阶捕食被捕食系统解的存在唯一

性.2007年,文献［6］证明了具有大小结构的捕食系统模型解的存

在唯一性.但是,具有大小结构捕食系统模型平衡解的渐近稳定性未

研究.根据捕食模型数据特性［7］，讨论模型平衡解的渐近稳定性

.主要讨论一类具有大小结构捕食系统模型平衡解的渐近稳定性.首

先,讨论该模型平衡解的存在问题;其次,讨论平衡解的渐近稳定性

问题.安排如下:第一部分给出具有大小结构捕食系统模型,并且提

出基本的假设；第二部分给出此模型平衡解的渐近稳定性,判别准

则及其中心流形［8］等结果.1捕食系统模型和假设讨论的模型如

下：ut+(g1(x)u)x+λ(x,Q(t))u=00＜x＜∞,0＜t＜+∞
wt+(g2(x)w)x+μ(x,P(t))w=00＜x＜∞,0＜t＜+∞
gt(0)u(0,t)=∫+∞0β1(x)u(x,t)dx0≤t＜+∞
g2(0)ω(0,t)=∫+∞0β2(x)w(x,t)dx0≤t＜+∞
u(x,0)=(x)0≤x＜+∞
w(x,0)=φ(x)0≤x＜+∞（1）根据实际问题和数学研究的需要,提

出如下假设：(H1)在［0,+∞)上,g1(x),g2(x)是严格正的连续可

微函数;(H2)在［0,+∞)上,β1(x),β2(x)是非负的连续可微函数

;(H3)在［0,+∞)×［0,+∞)上,λ(x,Q),μ(x,P)都是非负的连续

可微函数,且λ′Q(x,Q)≥0,μ′P(x,P)≤0；(H4)在［0,+∞)上,

(x),φ(x)是非负连续函数;(H5)满足如下相似相容条件,u

(0,0)=∫+∞0β1(x)(x)dx,w(0,0)=∫+∞0β2(x)φ(x)dx.参数

g1(x),g2(x),λ(x,Q),μ(x,P)是严格正的,β1(x),β2(x),

(x),φ(x)的非负性都是根据实际问题而假定的,λ′Q(x,Q)≥0表

示随着捕食者的数量的增多,食饵的死亡率增大,μ′P(x,P)≤0表

示随着食饵的数量的增多, 捕食者的死亡率减少;以上参数的连续

可微性或连续性都是根据数学研究的需要而假定的.2平衡解的渐近

稳定性2.1平衡解的存在性在这一部分里,首先讨论捕食系统模型平

衡解的存在问题,然后再讨论平衡解的渐近稳定性.假设此模型有平

衡解(ξ(x),η(x)),ξ(x)是大小为x的食饵的密度,η(x)是大小

为x的捕食者的密度.于是食饵和捕食者的总数目分别为P0=∫+∞0

ξ(x)dx,Q0=∫+∞0η(x)dx因此平衡解满足如下方程(g1(x)ξ)

x+λ(x,Q0)ξ=0
(g2(x)η)x+μ(x,P0)η=0(2)相应的边界条件为第12期肖利

芳,等：具有大小结构捕食模型平衡解的渐近稳定性
武汉工程大学学报第32卷
g1(0)ξ(0)=∫+∞0β1(x)ξ(x)dx
g2(0)η(0)=∫+∞0β2(x)η(x)dx(3)由于P0,Q0是常数,方程(2)

的积分得到
ξ(x)=g1(0)ξ(0)g1(x)exp-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dα
η(x)=g2(0)η(0)g2(x)exp-∫x0μ(α,P0)g2(α)dα(4)将(4)

分别代入(3)、于是得到
∫+∞0β1(x)g1(x)exp-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx=1
∫+∞0β2(x)g2(x)exp-∫x0μ(α,P0)g2(α)dαdx=1(5)定理2.1

若λ(x,+∞),则(5)有正解的充分必要条件是∫+∞0β1(x)g1(x)

exp-∫x0λ(α,0)g1(α)dαdx＞1
且∫+∞0β2(x)g2(x)exp-∫x0μ(α,+∞)g2(α)dα＞1＞∫+∞0

β2(x)g2(x)exp-∫x0μ(α,0)g2(α)dαdx证明：令
K1(Q)=∫+∞0β1(x)g1(x)exp-∫x0λ(α,Q)g1(α)dαdx
K2(P)=∫+∞0β2(x)g2(x)exp-∫x0μ(α,P)g2(α)dαdx由于λ

(x,Q),μ(x,P)分别关于Q,P的单调递增函数和递减函数,g1(x)＞

0,g2(x)＞0,β1(x)＞0,β2(x)＞0.所以,在区间［0,+∞)上,K1

(Q),K2(P)分别是关于Q,P的单调递减函数和单调递增函数.又由于0

＜1＜∫+∞0β1(x)g1(x)exp-∫x0λ(α,0)g1(α)dαdx∫+∞0β

2(x)g2(x)exp-∫x0μ(α,+∞)g2(α)dαdx＞1＞∫+∞0β2(x)

g2(x)exp-∫x0μ(α,0)g2(α)dαdx故必存在(Q0,P0)∈(0,+∞)

×(0,+∞),使得K1(Q0)=1,K2(P0)=1.反过来,若(5)有正解,由于

K1(Q),K2(Q)分别是关于Q,P的单调减函数和单调增函数,所以,必有

∫+∞0β1(x)g1(x)exp-∫x0λ(α,0)g1(α)dαdx＞∫+∞0β1

(x)g1(x)exp-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx=1∫+∞0 β2(x)g2

(x)exp-∫x0μ(α,+∞)g2(α)dαdx＞∫+∞0β2(x)g2(x)exp-∫

x0μ(α,P0)g2(α)dαdx=1＞∫+∞0β2(x)g2(x)exp-∫x0μ

(α,0)g2(α)dαdx.［证毕］若(Q0,P0)满足方程(5),则P0=∫+∞

0ξ(x)dx=g1(0)ξ(0)∫+∞01g1(x)exp-∫x0λ(α,Q0)g1(α)d

αdx.Q0=∫+∞0η(x)dx=
g2(0)η(0)∫+∞01g2(x)exp-∫x0μ(α,p0)g2(α)dαdx于是,
ξ(0)=P0g1(0)∫+∞01g1(x)exp-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx
η(0)=Q0g2(0)∫+∞01g2(x)exp-∫x0μ(α,P0)g2(α)dαdx由此

可见,方程式(5)的解的问题唯一决定于系统模型式(1)的平衡解问

题.2.2平衡解的渐近稳定性利用文献［1］的思想,讨论系统模型式

(1)的平衡解的渐近稳定性.首先假设在ξ(x),η(x)的附近存在扰

动的函数(x,t),(x,t)使得u(x,t)=ξ(x),+(x,t)
w(x,t)=η(x)+(x,t)将u(x,t),w(x,t)分别代入系统模型式(1)得

到t+(g1(x))x=
ut+(g1(x)u)x-(g1(x)ξ)x=
-λ(x,Q)u+λ(x,Q0)ξ
t+(g2(x))x=
wt+(g2(x)w)x-(g2(x)η)x=
-μ(x,P)w+μ(x,P0)η(6)利用文献［1］中定理7的方法,将式(6)

线性化后得到
t+(g1(x))x=
-λ(x,Q0)-λ′Q(x,Q0)ξ×∫+∞0(x,t)dx
t+(g2(x))x=
-μ(x,P0)-μ′P(x,P0)η×∫+∞0(x,t)dx(7)又由边值条件得到

(0,t)=u(0,t)-ξ(0)=
1g1(0)∫+∞0β1(x)(u(x,t)-ξ(x))dx=
1g1(0)∫+∞0β1(x)(x,t)dx
(0,t)=w(0,t)-η(0)=
1g2(0)∫+∞0β2(x)(w(x,t)-η(x))dx=
1g2(0)∫+∞0β2(x)(x,t)dx(8)设式(7)系统有如下形式的解

((x,t),(x,t))=
(U(x)exp(at),V(x)exp(at))将此解代入式(7)得到
U(x)=exp-∫x0a+g′1(α)+λ(α,Q0)g1(α)dα
(U(0)-∫x0exp∫α0a+g′1(τ)+λ(τ,Q0)g1（τ）dτ
λ′Q(α,Q0)g1(α)ξ(α)dαV(x)=exp-∫x0a+g′2(α)+μ

(α,P0)g2(α)dα
V(0)-∫x0exp(∫α0a+g′2(τ)+μ(τ,P0)g2(τ)dτ)
μ′P(α,P0)g2(α)η(α)dα其中=∫+∞0V(x)dx,=∫+∞0U(x)

dx令Γ1(x)=∫x01g1(α)dα,π1(x,Q0)=
exp-∫x0g′1(α)+λ(α,Q0)g1(α)dα,T1(x,Q0)=
λ′Q(x,Q0)g1(x);Γ2(x)=∫x01g2(α)dα,π2(x,P0)=
exp-∫x0g′2(α)+μ(α,P0)g2(α)dα,T2(x,P0)=
μ′P(x,P0)g2(x)于是,得到U(x)=e-aΓ1(x)π1(x,Q0)(U(0)-
∫x0eaΓ1(α)π1(α,Q0)T1(α,Q0)ξ(α)dα)
V(x)=e-aΓ2(x)π2(x,P0)(V(0)-
∫x0eaΓ2(α)π2(α,P0)T2(α,P0)η(α)dα)(9)将式(9)从0到

+∞积分得到
=∫+∞0e-aΓ1(x)π1(x,Q0)
U（0）-∫x0eαΓ1(α)π1(α,Q0)T1(α,Q0)ξ(α)dαdx
=∫+∞0e-aΓ2(x)π2(x,P0)
V(0)-∫x0eaΓ2(α)π2(α,P0)T2(α,P0)η(α)dαdx(10)令

A13(a)=∫+∞0e-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx
A12(a)=∫+∞0e-aΓ1(x)π1(x,Q0)∫x0eaΓ1(α)π1(α,Q0)

T1(α,Q0)ξ(α)dαdx
A24(a)=∫+∞0e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx
A21(a)=∫+∞0e-aΓ2(x)π2(x,P0)∫x0eaΓ2(α)π2(α,P0)

T2(α,P0)η(α)dαdx则方程(10)可化为-A13(a)U(0)+A12(a)=0
-A24(a)V(0)+A21(a)=0(11)又由边界条件得到U(0)=1g1(0)∫+∞0

β1(x)U(x)dx
V(0)=1g2(0)∫+∞0β2(x)V(x)dx(12)将U(x),V(x)分别代入方程

式(12)得
U(0)=U(0)g1(0)∫+∞0β1(x)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx-
g1(0)∫+∞0β1(x)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)
∫+∞0eaΓ1(α)π1(α,Q0)T1(α,Q0)ξ(α)dαdx(13)
V(0)=V(0)g2(0)∫+∞0β2(x)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx-
g2(0)∫+∞0β2(x)e-aΓ2(x)π2(x,P0)
∫+∞0eaΓ2(α)π2(α,P0)T2(α,P0)η(α)dαdx令A33(a)=∫+

∞0β1(x)g1(0)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx
A32(a)=∫+∞0β1(x)g1(0)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)
∫x0eaΓ1(x)π1(α,Q0)T1(α,Q0)ξ(α)dαdxA44(a)=∫+∞0β

2（x）g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dxA41(a)=∫+∞0β2(x)g2(0)

e-aΓ2(x)π2(x,P0)
∫x0eaΓ2(α)π2(α,P0)T2(α,P0)η(α)dαdx将方程式(13)化

为U(0)(1-A33(a))+A32(a)=0
V(0)(1-A44(a))+A41(a)=0(14)于是(11),(14)可化成方程组
1A12(a)-A13(a)0
A21(a)10-A24(a)
0A32(a)1-A33(a)0
A41(a)001-A44(a)

U(0)
V(0)=0
0
0
0若要此方程组有非零解,则
detA(a)=0其中
detA(a)=1A12(a)-A13(a)0
A21(a)10-A24(a)
0A32(a)1-A33(a)0
A41(a)001-A44(a)于是,得到方程1=A44(a)+A33(a)-A44(a)A33

(a)+
［A12(a)(1-A33(a))+A13(a)A32(a)］
［A24(a)A41(a)+A21(a)(1-A44(a))］(15)在不解方程式(15)的情

况下,论文讨论方程的根与模型的平衡解的关系如下:定理2.2若方

程(15)的所有根的实部都是负的,则系统(1)的平衡解是渐近稳定的

；若方程(15)有一根的实部是正的,则系统模型式(1)的平衡解不是

渐近稳定的.定理的证明见文献［1］的定理7.2.3平衡解的中心流

形下面建立二维中心流形结果.定理2.3设λ′Q(x,Q0)=0或μ′P

(x,P0)=0,若l1≥β1(x)g1(x)≥1,0＜l2＜λ(x,Q0)g1(x)＜1且β

2(x)g2(x)≤l2,μ(x,P0)g2(x)＞l1或者l1≥β2(x)g2(x)≥1,0

＜l2＜μ(x,P0)g2(x)＜1且β1(x)g1(x)≤l2,λ(x,Q0)g1(x)＞

l1,则系统(1)的平衡解是二维中心流形.证明：先对λ′Q(x,Q0)=0

的情形证明,而μ′P(x,P0)=0是类似于λ′Q(x,Q0)=0的情形的证

明.于是,得到A12(a)=0,A32(a)=0,方程式(15)可化为A33(a)+A44

(a)-A33(a)A44(a)=1(16)
令K(a)=A33(a)+A44(a)-A33(a)A44(a)=∫+∞0β1(x)g1(0)e-aΓ

1(x)π1(x,Q0)dx+
∫+∞0β2(x)g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx-
∫+∞0β1(x)g1(0)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx
∫+∞0β2(x)g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dxK(0)=∫+∞0β1(x)

g1(x)e-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx+
∫+∞0β2(x)g2(x)e-∫x0μ(α,P0)g2(α)dαdx-∫+∞0β1(x)

g1(x)
e-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx∫+∞0β2(x)g2(x)e-∫x0μ

(α,P0)g2(α)dαdx=
∫+∞0β1(x)g1(x)e-∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx-1
1-∫+∞0β2(x)g2(x)e-∫x0μ(α,P0)g2(α)dαdx+1因为(5),所

以K(0)=1.另外,由于Γ1(x)=∫x01g1(α)dα＞0,Γ2(x)=∫

x01g2(α)dα＞0,所以,lima→∞K(a)=0.下面证明在［0,+∞)

上,K(a)是关于a的单调减函数.K′(a)=-a［∫+∞0β1(x)g1(0)e

-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx+
∫+∞0β2(x)g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx-
2∫+∞0β1(x)g1(0)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx
∫+∞0β2(x)g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx］由A33(a)+A44(a)-

2A33(a)A44(a)≥2A33(a)A44(a)-2A33(a)A44(a)≥2A33(a)A44

(a)(1-A33(a)A44(a)),又由条件l1≥β1(x)g1(x)≥1,0＜l2＜λ

(x,Q0)g1(x)＜1且β2(x)g2(x)≤l2,μ(x,P0)g2(x)＞l1于是∫+

∞0β1(x)g1(0)e-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx≤∫+∞0β1(x)g1(x)e-

∫x0λ(α,Q0)g1(α)dαdx＜∫+∞0l1e-l2xdx=l1l2∫+∞0β2

(x)g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx≤∫+∞0β2(x)g2(x)e-∫x0μ(

α,P0)g2(α)dαdx＜∫+∞0l2e-l1xdx=l2l1故
∫+∞0β2(x)g2(0)e-aΓ2(x)π2(x,P0)dx∫+∞0β1(x)g1(0)e

-aΓ1(x)π1(x,Q0)dx＜1于是1-A33(a)A44(a)＞0同理,当满足条

件l1≥β2(x)g2(x)≥1,0＜l2＜μ(x,P0)g2(x)＜1且β1(x)g1(x)

≤l2,λ(x,Q0)g1(x)＞l1时,同样有1-A33(a)A44(a)＞0成立.于是

K′(a)=-a［A33(a)+A44(a)-2A33(a)A44(a)］≤0.对于a∈［0,+

∞］,K(a)是递减函数.所以,在［0,+∞)上,0是唯一使K(a)=1的根

.故在［0,+∞)上,系统(1)的平衡解是二维中心流形.3结语用数学

工具研究生物中生态平衡是一门新兴学科,并且能进一步促进生物

学的发展.通过偏微分方程的方法解决种群模型的平衡问题.