《武汉工程大学学报》  2011年08期 107-110   出版日期：2011-09-30   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

---

原始EPR佯谬本征态的量子力学


0引言1935年，Einstein、 Podolsky和Rosen合作发表了一篇名为“能够认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？”的文章［1］．文中构造一奇特的无自旋二粒子系统，通过两粒子的坐标和动量关联来质疑量子力学的完备性，此即原始的EPR佯谬．它和“薛定谔猫态”在历史上一起给出了对纠缠态的最早描述［2］．由于粒子动量和坐标算符的本征值都是连续谱，又有经典对应，给问题的讨论和理解都带来困难．后来，经过Bohm的重新表述，将问题简化为对只有两个本征值的电子自旋纠缠态的讨论［3］. 此即Bohm版本的EPR佯谬, 或称 EPRB思想实验. 问题的转机发生在1964年，Bell的工作将纯思辨的思想实验转为可以实验检验的Bell不等式［4］．之后，1969年基于光子偏振纠缠的实验方案被提出［5］．决定性的实验工作在上世纪八十年代初完成［67］．实验表明量子力学理论的正确性，也表明纠缠态确实存在．随后基于双光束光振幅关联的连续变量EPR纠缠态也被建议并在实验上实现［89］．而以动量位置纠缠态为基础［10］的连续变量量子通信［1112］和量子计算［13］的研究进一步促进了对原始EPR佯谬的理解［1415］．2004年，在实验上实现了双光子的动量位置的纠缠态［16］．至今，对有质量的粒子（如电子）的动量，坐标或自旋的纠缠态都还没有在实验上实现．而对坐标动量纠缠态的物理理解还有待深入．本文试图不用密度矩阵的方法，而从量子力学的对易关系分析入手, 结合对原始EPR佯谬文章中所给出的本征态在动量表象和坐标表象的波函数的深入分析，揭示其在不同表象波函数中的特征表现，澄清动量和坐标纠缠态的量子物理内涵．1原始EPR佯谬对原始EPR佯谬的问题可以简述如下［17］：有一个一维的量子力学系统S，由粒子1和粒子2组成．两粒子的坐标算符和动量算符是j,i=-ixj(j=1,2)(1)满足基本对易关系［1,1］=i(2)［2,2］=i(3)［1,2］=［2,1］=0(4)由此可以构造系统S的两个对易算符，坐标差算符1-2及动量和算符1+2，它们满足对易关系［1-2,1+2］=0(5)于是根据量子力学，它们有共同本征态，而本征值可分别为x1-x2=a(6)p1+p2=0(7)以这两个算符的本征值为标志，该本征态可记为|a,0〉．　　对于一维的二粒子系统，这是非常奇怪的本征态［1819］：两个以相反动量运动的粒子居然可以保持它们的距离不变！从经典力学粒子运动的观点来看，这种运动是难以想象的．以至于文献［17］中说，“EPR文章所举的例子里，所用的态函数虽然在数学上是可能的，但谁也想不出怎样实现这种两个粒子有着相反方向的动量，却又始终保持一定距离的臆想的追随运动. 难怪好多人把这场(Einstein 同Bohr的)争论只当作是一场不会有结果的空谈．”然而现在人们知道这绝非空谈．对两个光子组成的系统，这样的本征态已在实验室实现［16］．本文的目的是通过量子力学的分析来理解它．探究明白这个经典力学看来不可想象的本征态真正的量子物理内涵．
1.1对易关系先从算符的对易关系来分析，当1-2的本征值a非常之大，以致粒子1和粒子2间的相互作用可以忽略，这正是EPR文章所假设的情况［1］．此时系统哈密顿算符是=212m+222m(8)
在此假设两粒子有相同的质量. 这不会改变笔者将得到的结论．笔者发现［1-2,］=im(1-2)(9)［1+2,］=0(10)
第8期刘雅超，等：原始EPR佯谬本征态的量子力学
武汉工程大学学报第33卷
这表明，1-2和1+2的共同本征态|a,0〉不可能同时是能量算符的本征态. 又由对易关系(2)式和(3)式可知，|a,0〉也不是算符1,2,1,2的本征态；另一方面，(6)和(7)只是表明x1和x2相差为a;p1和p2大小相等，方向相反，并未对x1和p2的取值有任何限制．那么，1作用于|a,0〉有一定的几率取任意本征值x，相应的2的本征值为x-a；1作用于|a,0〉有一定的几率取任意本征值p，相应的2的本征值为-p．综上，|a,0〉是粒子位置和动量的双重纠缠态，不可能由某两个具有确定的动量和能量的自由粒子本征态的直积来构成［2］，即不能是
|x,p0〉1|x-a,-p0〉2=
12πexpip0x12πexpi(-p0)(x-a)(11)
的形式．所以，将由|a,0〉代表的本征态描述成是具有等大而反向的动量而又保持距离不变的两个粒子是不合适的．因为这种经典力学式的陈述必然假定两个粒子的动量是确定的．事实上，虽然在经典力学里，不能想象粒子同时具有各种不同的动量，而在量子力学里，由于态的叠加原理，这确实是可以的．再从态|a,0〉在不同表象的波函数来研究它．1.2坐标表象数学上，|a,0〉在坐标表象的波函数ψ(x1,x2)的表达式为 ［12］
ψ(x1,x2)=12π∫+∞-∞expip(x1-x2-a)dp=
δ(x1-x2-a)(12)
分别用算符1-2和1+2作用于上式，有
(1-2)ψ(x1,x2)=(1-2)δ((x1-x2)-a)=
aδ((x1-x2)-a)(13)
(1+2)ψ(x1,x2)=
-ix1+x212π∫+∞-∞expip(x1-x2-a)dp=
12π∫+∞-∞(p-p)expip(x1-x2-a)dp=0(14)
由以上两式可以确认(12)式就是我们所讨论的本征态|a,0〉在坐标表象的波函数．该函数δ(x1-x2-a)表明，粒子1和粒子2的位置处于纠缠状态，即虽然坐标x1和x2可以任意取值，但它们之差必须保持不变，始终为a．1.3动量表象为了进一步分析本征态|a,0〉的内涵，将ψ(x1,x2)在二粒子体系的动量本征态上展开
ψ(x1,x2)=12π∫+∞-∞∫+∞-∞φ(p1,p2)expip1x1·
expip2x2dp1dp2(15)
其中φ(p1,p2)为本征态|a,0〉在动量表象的波函数，由表象变换可得φ(p1,p2)=12π∫+∞-∞∫+∞-∞ψ(x1,x2)exp-ip1x1exp-ip2x2dx1dx2=
12π∫+∞-∞∫+∞-∞δ(x1-x2-a)exp-ip1x1exp-ip2x2dx1dx2=
12π∫+∞-∞∫+∞-∞δ［(x1-0)-(x2-(-a))］exp-ip1x1exp-ip2x2dx1dx2=
12π∫+∞-∞∫+∞-∞δ(x1′-x2′)exp-ip1(x1′+0)exp-ip2(x2′+(-a))dx1′dx2′=
exp-ip10exp-ip2(-a)δ(p1+p2)(16)
此波函数表明， 若将粒子1所在位置取为坐标原点，即粒子1坐标为0，则粒子2坐标为-a，坐标差即距离为a；而动量波函数中δ(p1+p2)因子的存在则说明两粒子的动量存在纠缠，即取值必须始终等大反号．或者，可将粒子2所在位置取为坐标原点，则有φ(p1,p2)=12π∫+∞-∞∫+∞-∞δ［(x1-a)-(x2-0)］exp-ip1x1exp-ip2x2dx1dx2=
12π∫+∞-∞∫+∞-∞δ(x1′-x2′)exp-ip1(x1′+a)exp-ip2(x2′+0)dx1′dx2′=
exp-ip1aexp-ip20δ(p1+p2)(17)
由上可知，在此参考系下，粒子1坐标为a，粒子2坐标为0，距离依然为a，动量纠缠保持不变．而若将两粒子的质心位置取为坐标原点，所得波函数将更为对称，此时，φ(p1,p2)=12π∫+∞-∞∫+∞-∞δx1-a2-x2+a2exp-ip1x1exp-ip2x2dx1dx2=
12π∫+∞-∞∫+∞-∞δ(x1′-x2′)exp-ip1x′+a2exp-ip2x2′-a2dx1′dx2′=
exp-ip1a2exp-ip2-a2δ(p1+p2)(18)
笔者注意到，当 P1→-p2，p2→-p1,波函数(18)保持不变，而波函数(16)和(17)互换．事实上，鉴于二粒子质心位置和动量的对易关系［(1+2)/2,1+2］=i，本征态|a,0〉对质心位置完全没有限制．表现为任取质心坐标为x0，|a,0〉在动量表象的波函数(18)保持不变．φ(p1,p2,x0)=exp-ip1x0+a2exp-ip2x0-a2δ(p1+ps)=
exp-ip1a2exp-ip2-a2exp-i(p1+p2)x0δ(p1+p2)=
exp-ip1a2exp-ip2-a2δ(p1+p2)=φ(p1,p2)(19)
而对波函数(16)和(17)，任取粒子1或粒子2的位置坐标，它们亦保持不变．2结语  本研究从量子对易关系和坐标，动量表象波函数等不同方面考察了原始EPR佯谬中所给出的本征态，分析表明该本征态并非两个粒子动量本征态的直积态，而是二粒子体系的动量和坐标的双重纠缠态．纠缠态是量子力学态叠加原理的奇特展现，是完全的量子力学效应，根本没有经典对应．而之前人们却不自觉地从经典物理出发对该态的加以描述和理解，自然会觉得奇怪了．可以指出，由（2～4）式出发还可以构造另一组对易算符1+2和1-2，满足［1+2,1-2］=0.它们的共同本征态也是动量和坐标的双重纠缠态．可以用本文的方法加以讨论．而探讨由一对正反粒子构成的二粒子系统［20］的纠缠态在物理上会更加具有吸引力．