经过科学与工程技术人员们的不断探索，发展出了基于多种磁现象类型的地磁探测技术［4］。按辨别算法可分为3类［5］：标准正交基法（orthonormal basis function， OBF）、最小熵法（minimum entropy deconvolution， MED）、高阶过零法（higher order crossings， HOC）。磁探测技术发展迅猛且探测灵敏度不断提高。从20世纪30年代的磁通门磁力仪首次问世到现今超导量子干涉磁力仪的普及，磁传感器的灵敏度提升巨大（最小可达0.1 fT）且还有提升空间，通过研究磁异常信号可以用来定位铁磁体，确定铁磁体的运动状态［6］。然而仍有很多问题亟待解决，例如：近场磁探测需考虑探测铁磁体的几何特征，磁场变化复杂且求解困难，对建模与磁异常信息分析造成障碍。
磁异常信息可分为标量信息和矢量信息，标量信息测量简单但缺失了磁场方向信息，造成磁异常现象解释失真［7-9］。矢量信息包含着空间磁场方向和大小，矢量信息反映标量信息特性。矢量信息磁异常信息的建模与分析方法包括：磁体模拟法、积分方程法、有限元法等。
磁体模拟法是磁异常远场探测与信息分析中的重要方法。因远场测量中铁磁体几何尺寸远小于目标与传感器距离，因此将铁磁体等效为磁偶极子。将铁磁体等效为磁偶极子来研究远场情况下其磁异常分布，通过磁异常模量信息和矢量信息分布来进行磁法勘探、目标探测定位以及目标运动方向确定。然而以单磁偶极子分析磁异常信息误差过大，常采用磁偶极子阵列的方式建模［10］：针对静态探测飞机，文献［11］中用3个磁偶极子对舰船建模［12］，模拟舰船通过时的特征，磁体简单，但由于磁场梯度较大，误差也较大。考虑动态测量误差，文献［12］中考虑了目标潜艇和探测飞机的磁航向角问题，把目标潜艇当作磁偶极子，当潜艇的磁航向角改变时，磁矩也会发生改变，不同位置和不同的航向角探测飞机的空间磁场模量也会变化［12-13］。因而，文献［14］进一步考虑了水下铁磁体在航空磁探中的空间磁场分布问题。由于铁磁体形状不同造成的各方向磁化能力不同而加入了各方向的磁化系数，从而确定磁偶极子的磁矩［14］。但是磁体模拟法只适用于远场磁异常分析，在水下铁磁体近场情况的研究中，目标的几何形状与尺寸无法忽略，该方法假设下的模型与分析方法缺乏足够的准确性。因此建立准确的简化模型与磁异常信息分析方法成为水下铁磁体近场磁探测技术亟待解决的问题。
近场测量时对象大小相比于测量距离较近，不可忽略铁磁体的几何尺寸与形状。磁体模拟法中的磁偶极子阵列对舰船磁场建模需要磁偶极子数量较多，排列复杂，工程上难以实现。但依据安培定则，可将铁磁目标等效为侧表面闭合电流环路，通过积分方程法求解所有的电流元对空间中任意一点的磁感应矢量强度，不用考虑边界［15-16］。如文献［17］中基于单元表面积分的铁磁体感应磁场模型，用单元表面磁场积分法求得铁磁体的感应磁场，虽然能较好的解决工程问题［17］，但是只有当剖分单元足够小、剖分单元足够多时才能把每个剖分单元看作均匀磁化体。针对水下铁磁体在航空磁探中的空间磁场分布，通过把铁磁体离散化，等效为一个个铁磁性的目标源，利用三维空间方程法求解空间中磁场强度［18］。积分方程法的缺陷是复杂表面模型难以求解。因此，研究中提出了有限元分析法对磁异常进行建模与分析。
有限元分析法用分块数值求解的方式绕开了求磁场解析解的难题，为理论分析开拓了新的路径，降低了磁探测研究的实验成本。有限元法将连续问题离散化，针对大型矩形铁磁体在近场空间中的磁异常，可以用有限元仿真法揭示不同条件下空间中磁感应强度标量场和矢量场的对称性和规律性［19］。有限元法需对场域进行剖分，当场域很小时，能够进行精密的剖分，计算结果精确，但是当场域很大时，需要进行大量剖分，精度降低。
针对水下铁磁体近场磁探测缺乏准确的简化模型与磁异常分析方法的问题，本文将解析求解的积分方程法与数值有限元仿真相结合，对水下铁磁圆柱体的建模与近场磁异常分析进行了研究。在建模与分析中将水下铁磁性圆柱体等效成薄层电流环，通过积分建立了铁磁性圆柱体的磁异常感应强度模型，然后通过有限元仿真获得了铁磁性圆柱体目标磁异常感应强度的模拟信号，最后通过积分解析结果与仿真信号以及实验结果三者相互比较与验证，揭示了近场中水下铁磁性圆柱体磁异常场分布规律，为水下铁磁性圆柱体目标的近场地磁磁异常探测提供了准确建模与分析的新方法。
1 磁探测原理
铁磁体由于聚磁作用会改变所在位置周围空间的磁场分布，从而导致磁场异常信号产生。图1给出了磁异现象示意图，图1（a）为无铁磁体时的均匀磁场，图1（b）为有铁磁体时产生的磁异常。
<G:\武汉工程大学\2023\第2期\田斌-1.tif>[ a ][ b ]
图1 磁异常现象示意图：（a）无铁磁体，（b）有铁磁体
Fig. 1 Magnetic anomaly phenomenon diagrams ：
（a） no ferromagnet， （b） ferromagnet
对于铁磁体的远场磁探测通常采用磁偶极子模型，一般将目标等效为给定电流分布所激发的磁场矢势，再通过推导可得出磁偶极子数学模型，但是对于铁磁体的近场探测，由于其自身尺寸相对于探测距离不能被忽略，磁偶极子模型将不再适用。假设圆柱体铁磁体尺寸半径R为1 cm，高度为40 cm，相对磁导率为4 000。N为铁磁体的去磁系数，为特定常数，且0≤[N]≤1，并且通常[N]只与铁磁材料的形状、尺寸有关，对于圆柱体（Z方向为圆柱体长的方向）[Nx+Ny+Nz=1]且[Ny=Nz]。[λ]为径长比，本文中的铁磁目标径长比为20，[α=λ2-1]。
[Nx=1α?λα?ln(0.6(λ+α))-1] （1）
将[λ]=20代入：得[Nx≈0.00546]，[Ny=Nz=0.497 27]，[Nr≈2?0.497 27]。
[M=(μr-1)N(μr-1)+1He] （2）
[M]为磁化强度，[μr]为铁磁体的相对磁导率，[He]为地磁场磁感应强度，在地磁作用下，介质中的分子电流可以等效为介质表面的磁化电流，如图2所示。设环路上的磁化电流密度为[Js]（单位为 A/m），[Js]与磁化强度[M]的关系为[Js=M×n]中，[Jsr]为r方向磁场磁化时的磁化电流密度，[Jsx]为x方向磁场磁化时的磁化电流密度，[n]为磁介质表面外法线单位矢量。其中铁磁体半径R为定值，设铁磁体外表面的坐标A1（R，[θ]，[x]），选取厚度为[dx]的薄层电流环，利用毕奥-萨伐尔定律［20］的积分形式可以求出空间矢量坐标为A2（[x]，[y]，[z]）在该点产生的磁感应强度为[B1]，其中[B1x]、[B1y]，[B1z]为三分量磁感应强度。[ex]、[ey]、[ez]为三方向单位矢量。
<G:\武汉工程大学\2023\第2期\田斌-2.tif>[A2（[x]，[y]，[z]）][A1（R，[θ]，[x]）][x][z][y][磁场方向][闭合电流环路]
图2 圆柱铁磁体磁化的分子环流模型
Fig. 2 Molecular circulation model for magnetization of
cylindrical ferromagnet
[B1=-202002πμ04π?R?Jsxdθ×(A2-A1)A2-A13dx=]
[B1x+B1y+B1z] （3）
[B1x=-202002πμ04π?]
[-R?Jsx?(z?sinθ+y?cosθ-1)dθ(x-x)2+(y-Rcosθ)2+(z-Rsinθ)232dx?ex]
（4）
[B1y=-202002πμ04π?]
[R?Jsx?cosθ?(x-x)dθ(x-x)2+(y-Rcosθ)2+(z-Rsinθ)232dx?ey]
（5）
[B1z=-202002πμ04π?]
[R?Jsx?sinθ?(x-x)dθ(x-x)2+(y-Rcosθ)2+(z-Rsinθ)232dx?ez]
（6）
当磁化磁场方向在YZ平面的映射与Y轴正方向相交[θ]方向上磁场对铁磁体均匀磁化，在两个底面选取厚度为[dr]的薄层电流环，底面的矢量坐标为 A1（[r]，[θ]，[x]）。侧表面电流可以分为3部分，两个底面和一个侧表面，[B2]表示圆环侧面电流产生的磁场密度强度，[B3]表示两个底面电流产生的磁场密度强度。其中[B2x]、[B2y]，[B2z]、[B3x]、[B3y]、[B3z]为三分量磁感应强度矢量。
[B2=-202002πμ04π?R?Jsrdθ×(A2-A1)A2-A13dx=]
[B2x+B2y+B2z] （7）
[B3=0102πμ04π?r?Jsrdθ×(A2-A1)A2-A13dr=]
[B3x+B3y+B3z] （8）
由公式可知空间中任意一点的三分量磁感应强度矢量[Bx]、[By]、[Bz]为：
[Bx=B1x+B2x+B3xBy=B1y+B2y+B3yBz=B1z+B2z+B3z] （9）
2 仿真模型建立
本文通过引入一个直径2 cm，长40 cm，相对磁导率为4 000的圆柱铁磁体，将目标等效为一个薄层电流环。为了更好地仿真真实情况，取实验中测得的三分量磁感应强度矢量为仿真中的背景场，通过计算可以得到背景磁感应强度模量为70.723 2 μT的均匀磁场，再通过旋转可使得X方向磁感应强度大小为-17.4 μT，Y方向磁感应强度为46.42 μT，Z方向磁感应强度为50.44 μT，空间大小为10 m×10 m×10 m的均匀磁场。在中心位置放置一个长度为40 cm，半径为1 cm的薄层电流环，薄层电流环的中心位置在（0，0，0）处，当薄层电流环长度方向与X轴平行时求得[Jsx]为2 426.2 A/m，[Jsr]为77.87 A/m，相比于[Jsx]而言[Jsr]较小，为简化模型可以忽略[Jsr]。由于空气磁导率和水的磁导率接近，所以在本文中只设置了空气介质。仿真结果取Z=10 cm（下方）平面和Z=-10 cm（上方）平面的磁感应强度矢量，分析圆柱铁磁体的空间磁异常和磁感应强度矢量分布的规律。图3为铁磁体正上方和正下方2 m×2 m处薄层电流环产生的三分量磁感应强度矢量变化规律。
如图3所示可以看到在铁磁体正上方和正下方的三分量磁感应强度矢量的变化图，图中铁磁体上方和下方的X方向和Y方向磁感应强度变化规律和大小几乎相同，Z方向的磁感应强度变化规律是相反的。
3 结果与分析
3.1 空间磁场分布验证实验
磁通门传感器为矢量传感器，只要角度有微弱的变化，三轴的磁感应强度矢量就会发生很大变化，为了实验更加准确，不移动磁通门传感器，只移动圆柱铁磁体。圆柱铁磁体为长40 cm，直径2 cm的Q235钢，相对磁导率为4 000。根据仿真中的结果，可以看到空间中三轴磁感应强度磁异常的变化规律，实验中无法取空间中所有的点来验证仿真，本文只考虑一条线上的三分量磁感应强度磁异常数据来比较仿真、积分与实验结果。将圆柱铁磁体的长方向与磁通门的X轴平行，将磁通门传感器放于离地面10 cm高的塑料箱上面，刚开始铁磁体中心在磁通门传感器前方70 cm，左边20 cm，下方10 cm处，将铁磁体由传感器左前下方移动到传感器的左后下方（X正方向为前，Y正方向为右， Z正方向为下），先用传感器测量空间中的背景场，在测量一段时间后，将铁磁目标沿着X轴负方向移动，每移动5 cm记录一段时间数据。如图4所示为实验中传感器与被测铁磁体位置改变示意图。
<G:\武汉工程大学\2023\第2期\田斌-4.tif>[传感器位置][箱子][铁磁体移动路径][铁磁体最终位置][铁磁体初始位置][Y][Z]
图4 实验中传感器与铁磁体位置改变示意图
Fig. 4 Schematic diagram of position change of
sensor and ferromagnet target in experiment
3.2 讨 论
将背景场的三分量磁感应强度矢量数据取平均值，得到X方向磁感应强度为-17.4 μT，Y方向的磁感应强度为46.42 μT，Z方向的磁感应强度为50.44 μT。然后将各点三分量磁感应强度矢量数据取平均值，再将各点三分量磁感应强度矢量平均值减去背景场的三分量磁感应强度矢量平均值，可以得到铁磁体在其中29个点的三分量磁感应强度磁异常。在仿真中铁磁体不动，取点（-70 cm，20 cm，-10 cm）到点（70 cm，20 cm，-10 cm）中29个点去掉背景场后的三分量磁感应强度矢量。再通过积分方程法求解电流环从点（-70 cm，20 cm，
-10 cm）到点（70 cm，20 cm，-10 cm）中29个点的三分量磁感应强度矢量。将仿真中的数据、实验中的数据与积分方程法计算所得数据作比较，图5为比较结果。
<G:\武汉工程大学\2023\第2期\田斌-5-1.tif><G:\武汉工程大学\2023\第2期\田斌-5-2.tif><G:\武汉工程大学\2023\第2期\田斌-5-3.tif>[-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
距离 / cm][1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5][X轴磁感应强度 / μT][ a ][ b ][实验磁异常
仿真磁异常
积分磁异常][-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
距离 / cm][1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5][Y轴磁感应强度 / μT][实验磁异常
仿真磁异常
积分磁异常][-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
距离 / cm][1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5][Z轴磁感应强度 / μT][ c ][实验磁异常
仿真磁异常
积分磁异常]
图5 三方向磁异常比较图：（a） X方向，（b）Y方向，
（c）Z方向
Fig. 5 Comparison of magnetic anomalies of
three-directions：（a） X axis，（b） Y axis， （c） Z axis
将仿真计算所得磁异常数据减去积分方程法求得的磁异常数据，可以得到仿真法与积分方法的差值。通过此方法还可以得到仿真方法与实验方法的差值，积分方法与实验方法的差值。如图6为三分量磁异常差值图。
从三分量磁异常比较图可以看出，三分量磁异常变化规律都不一样，X轴磁感应强度磁异常信号有2个波谷和1个波峰，波峰在2个波谷中间，且波峰比波谷更加突出。Y轴磁感应强度磁异常信号是先出现1个波峰，再出现1个波谷，波峰和波谷大小相近。Z轴磁感应强度磁异常信号是先出现1个波谷，再出现1个波峰。表1为三分量磁异常信号峰值表，从表中可以看出3种方法求得的磁异常信号波峰和波谷大小接近。通过比较三分量磁感应强度磁异常信号，可以看出仿真结果磁异常信号、积分结果磁异常信号和实验结果磁异常信号变化趋势和变化大小相接近。
表2为三分量磁异常信号差值表，结合三分量磁异常信号差值图可得差值均值在10-2 μT以内。
通过对积分法、有限元法和实验求得的结果分析，说明铁磁目标可以等效为电流环，并用有限元法和积分方程法求解铁磁目标的空间磁异常。
4 结 论
将铁磁体等效为薄层电流环，计算铁磁体的退磁系数可以求得铁磁体在不同角度下的磁化强度，从而求得电流环的磁化电流密度，通过实验测得的磁异常数据与有限元仿真和积分方程法求得空间磁异常数据作比较得出变化的规律相同，变化的幅值大小接近。由此可见将铁磁体等效为电流环，通过理论分析的积分方程法和数值有限元仿真法都可以有效计算和仿真出近场空间磁异常，为水下圆柱铁磁体的近场地磁磁异常探测提供了准确建模与分析的新方法。