通常情况下，信号的解相干算法可以分为两个类别：一类是降维处理；另一类是非降维处理。常见的降维处理算法可分为基于空间平滑算法和基于矩阵重构算法两类。基于矩阵重构的算法有矩阵分解法［3］和矢量奇异值法［4-5］等。矩阵分解法是将数据协方差矩阵通过特定的方法进行重构，再进行奇异值分解，利用奇异值分解的结果来进行DOA估计。为了提高矩阵分解算法的解相干能力，Cozzens等［6］提出的修正矩阵分解算法在重构的矩阵中添加了分块阵的反向平滑阵，提高了估计精度。矢量奇异值法是将协方差矩阵通过预处理得到数据矢量，再对重构后的数据矩阵进行奇异值分解，利用奇异值分解的结果进行DOA估计。空间平滑算法是一种经典的解相干算法，通过对协方差矩阵的子阵求均值来恢复满秩协方差矩阵，基于空间平滑的算法有多种类型，其中包括前向空间平滑算法［7-8］和双向空间平滑算法［9］等。
空间平滑方法对于阵列孔径有一定的损失，会丢失掉部分信息，因此许多人对空间平滑方法进行了改进。在文献［10］中，利用信号协方差矩阵构造Toeplitz矩阵，然后采用Khatri-Rao（KR）子空间方法构造新的模型，并通过前向和后向空间平滑算法进行估计。文献［11］中将空间平滑理论与压缩感知理论相结合，提出了一种基于KR积变换和空间平滑理论的DOA估计算法，该算法可以降低数据采样率、传输量和存储量，并提高参数估计的准确性。为了更大限度地利用信号子空间和噪声子空间信息，文献［12］中将空间平滑技术与特征空间MUSIC算法相结合，适用于小能量信号或低信噪比条件下的估计。在文献［13］中，利用子阵互相关的子阵协方差算法，将各个子阵间互相关，获得的空间平滑矩阵可以提高信噪比，从而获得更好的分辨性能。为了提高文献［13］中算法的分辨能力，文献［14］利用所有子阵的自相关矩阵再进行互相关，然后将子阵进行加和平均，这种方法在利用更多协方差矩阵信息的基础上加强主对角线上的元素的影响，能够最大限度地利用数据协方差矩阵。对于入射方向接近的信号，常规方法不能够精确估计，文献［15］采用改进的空间平滑技术处理相干信号，并运用特征空间MUSIC算法进行精确估计。文献［16］通过共轭虚拟阵列扩展增大阵列孔径，并且与Toeplitz矩阵重构算法结合，提高了算法的估计精度。为了减小噪声的影响，文献［17］构造时空相关矩阵子阵列，再通过时空相关矩阵重构平滑后的阵列协方差矩阵。文献［18］中，提出了一种增强空间平滑技术，同时使用单个子阵列的协方差矩阵和不同子阵列的交叉协方差矩阵，所提出的方法可以直接在信号子空间上工作，因为信号子空间包含输入信号的 DOA 的所有信息。非降维处理的算法包括修正MUSIC算法（modified MUSIC，MMUSIC）、Toeplitz矩阵重构算法等。
针对空间平滑算法在使用中没有充分利用前向平滑和后向平滑矩阵的问题，本文将文献［13］和文献［14］中得到的等效的前向平滑修正矩阵和后向平滑修正矩阵分别相加，再利用矩阵分解原理组合，将组合后的矩阵利用奇异值分解来进行信号估计，经过仿真验证表明在多种条件下的均方根误差指标相较原算法均有所改善。
1 信号模型
假设有[K]个远程的窄带信号入射到[M]元的均匀线阵中，其中[M>K]。信号的入射角度分别为[θkk=1,2,…,K]，阵元间距为[d]，信号波长为[λ]，则方向为[θk]的导向矢量为：
[aθk=1,ej2πλdsinθk,…,ej2πλdM-1sinθkT] （1）
阵列的接收数据矩阵为：
[Xt=ASt+Nt] （2）
其中，[A=aθ1,aθ2,…,aθK]为阵列流型矩阵，[St]为[K]个信号组成的矢量，[Nt]为[M]个阵元接收的噪声矢量。
阵列的数据协方差矩阵可以表示为：
[R=EXtXHt=ARSAH+σ2IM] （3）
其中，[E[?]]表示统计平均，[(?)H]表示对括号中的内容进行共轭转置运算，[RS=EStSHt]为信号的协方差矩阵，[σ2]表示噪声功率，[IM]表示[M]阶单位矩阵。
2 算法描述
2.1 空间平滑算法
将有[M]个阵元的均匀线阵划分为如图1所示的[p]个子阵，则每个子阵的阵元数[m]为[m=M+1-p]。
由图1可知，若以左边开始的第一个子阵为[xf1t]，则第[l]（[l=1, ?, p]）个子阵的数据模型[xflt]为：
[xflt=xl xl+1 ? xl+m-1=ADl-1st+nlt] （4）
其中，[xl]为第[l]个阵元的数据，[A]为阵列流型矩阵，[Dl-1]表示[D]的[l-1]次幂，[st]为信号矢量。[nlt]是[Nt]的一部分，表示[M]个阵元中的[m]个阵元接收的噪声矢量。令[βi=2πdsinθi∕λ, i=1, ?, K]，则[D]为：
[D=e-jβ10? 00e-jβ2? 0?0?0???e-jβK] （5）
该子阵的数据协方差矩阵为：
[Rfl=ADl-1RSDl-1HAH+σ2I] （6）
其中，[I]为[m]阶单位矩阵。
前向平滑修正的协方差矩阵由前向平滑各个子阵协方差矩阵的均值组成，即为：
[Rf=1pi=1pRfi=ARfSAH+σ2I] （7）
其中，[Rfi]表示前向平滑第[i]个子阵的协方差矩阵，[RfS=1pi=1pDi-1RSDi-1H]。
后向平滑是以第[M]个阵元开始向前划分子阵，同理可得，后向平滑修正的协方差矩阵为：
[Rb=1pi=1pRbi=ARbSAH+σ2I] （8）
其中，[Rbi]表示后向平滑第[i]个子阵的协方差矩阵，[RbS=1pi=1pD-m+i-2R?SD-m+i-2H]，[(?)?]表示对括号中的内容进行共轭运算。
如果将数据协方差矩阵[R]分为如图2所示的[p×p]个相互重叠的[m]维子阵，图2中的[Rij]相当于矩阵[R]中第[i]行到第[m+i-1]行及第[j]列到第[m+j-1]列的一个子阵，即[Rij=R(i:m+i-1, j:m+j-1)]。
此时，若[k=1, ?, p]，前向平滑的第[k]个子阵的协方差矩阵就相当于图2中数据协方差矩阵[R]的第[k]行到第[m+k-1]行及第[k]列到第[m+k-1]列的一个子阵[Rkk]。则前向空间平滑和后向空间平滑修正的矩阵可以写为：
[Rf=1pk=1pRkk] （9）
[Rb=1pk=1pJmRkk?Jm] （10）
其中，[Jm]为反对角线为1的[m]维的交换矩阵。
从上述分析可知，前向空间平滑和后向空间平滑都只利用了数据协方差矩阵[R]的对角线上的分块阵[Rkk]，却没有利用[R]的非对角线上的分块阵[Rij]（[i≠j]），导致在子阵阵元数较小的情况下，损失较多的数据矩阵信息，致使算法的性能严重下降。
为了充分利用互相关，最终平滑的协方差矩阵应包含所有[Rij]，其中 [i, j=1, ?, p]。通过[Rij]进行互相关的方式，将[Rij]合并，并使用与传统方法相同数量的子阵数保证平滑协方差具有满秩。所提出的方法将前向平滑矩阵[RfI]定义为：
[RfI=1pi=1pj=1pRijRji] （11）
为了方便描述后向平滑的表达式，令[Rij=JmRij?Jm]，则此方法的后向平滑矩阵[RbI]为：
[RbI=1pi=1pj=1pRijRji] （12）
上述算法利用了协方差矩阵子阵的互相关，在此基础上，文献［14］中利用所有子阵的自相关矩阵再进行互相关，得到新的空间平滑矩阵。其前向空间平滑矩阵[RfII]和后向空间平滑矩阵[RbII]为：
[RfII=1pi=1pj=1pRiiRjj] （13）
[RbII=1pi=1pj=1pRiiRjj] （14）
2.2 空间平滑算法的改进
根据以下定理：
[G]是[K×M]维无零行矢量的矩阵（[K<M]），[D]是[K×M]维对角阵，其中对角元素互不相等，矩阵[G]的秩为[r]，则有[rankG=r<K]，则[rankG DG=r+1]，即新的矩阵[G DG]的秩为[r+1]。
若存在正整数[l0<M-m]，令[RM]=[R0 R1 ? Rl0+k]([k=1, 2, ?, M-m-l0])，[N]为信号源数，[m×M]矩阵[Rl1]为[R]的第[l1+1]行到[l1+m]行构成的矩阵，其中[l1=0, 1, ?, l0]。则有：
[rankRM=rankR0 R1 ? Rl0+k= ][rankR0 R1 ? Rl0=N<m] （15）
因此，有修正矩阵[RM]为：
[RM=R0 R1 ? Rl0] （16）
由于[RM]的秩为[N]，可以利用[RM]进行信号估计，且有一定的解相干作用，这就是矩阵分解的解相干方法。
文献［6］中，向修正矩阵[RM]中添加各个子阵的反向平滑项，即得新的矩阵[RM1]为：
[RM1=RfM1 RbM1] （17）
其中，[RfM1=R0 R1 ? Rl0 ]， [RbM1=[Jm(R0)?Jm]
[Jm(R1)?Jm ? Jm(Rl0)?Jm]]。
通过对[RM1]进行奇异值分解得到信号子空间和噪声子空间来进行信号估计，即为矩阵分解法。
将式（11）与式（13）相加，得到新的前向平滑式为：
[RfE=1pi=1pj=1pRijRji+RiiRjj] （18）
同理将式（12）与式（14）相加，得到新的后向平滑式为：
[RbE=1pi=1pj=1pRijRji+RiiRjj] （19）
使用[RfE]来代替上述矩阵[RM1]中的[RfM1]，用[RbE]代替矩阵[RM1]中的[RbM1]，则可以得到新的方法的数据协方差矩阵[RE]为：
[RE=RfE RbE] （20）
对上述改进后的矩阵进行奇异值分解：
[RE=UEΛEVHE=UENΛENVHEN+UESΛESVHES] （21）
[RE]经过奇异值分解得到左奇异矩阵[UE]、右奇异矩阵[VE]和由奇异值组成的矩阵[ΛE]。左奇异矩阵[UE]中非零小奇异值对应的矢量组成的空间为噪声子空间[UEN]，其它非零奇异值对应的矢量即是信号子空间[UES]。利用[UEN]可以计算得出信号源的方向为：
[PE=1∕aHθUENUHENaθ] （22）
总结本文算法的具体步骤为：
（1）由空间阵列得到数据的协方差矩阵[R]；
（2）利用式（18）和式（19）分别求解修正后的前向空间平滑矩阵[RfE]和修正后的后向空间平滑矩阵[RbE]；
（3）将[RfE]和[RbE]当作矩阵分解法的两个部分得到改进后的矩阵[RE]；
（4）利用奇异值分解矩阵[RE]得到噪声子空间[UEN]；
（5）利用式（22）进行谱峰搜索；
（6）找出[PE]极大值点所对应的角度即为信号到达角。
3 仿真实验与分析
DOA估计算法的精度通常由均方根误差（root mean square error，RMSE）来衡量，设独立仿真实验次数为[n]，入射信号源数为[K]，真实入射角度为[(θ1,…,θK)]，第[i]次仿真实验的角度估计为[[θ1i,…,θKi]]，均方根误差[ε]定义为：
[ε=i=1nj=1K[θji-θj]2nK] （23）
下面将进行3个实验，将本文算法与矢量奇异值法、矩阵分解法、空间平滑算法、文献［15］所提算法、文献［18］所提算法进行比较。
第一个实验对上述几种算法在不同信噪比条件下的均方根误差进行对比。采用阵元间距[d=λ/2]，阵元数[M=15]的均匀线阵，快拍数为200。在3个相干信号源入射角度为［-10°，20°，30°］的条件下，信噪比从-10 dB变化至10 dB，大约每间隔2 dB进行300次蒙特卡罗实验，得到不同信噪比条件下的各算法的均方根误差图像，如图3（a）所示。图3（a）表明，在低信噪比下，算法的性能要优于其它几种算法，因为本文算法保留了更多的空间平滑矩阵的信息。在高信噪比条件下，本文算法的性能也要优于同为解相干算法的矢量奇异值法和矩阵分解法，估计效果同空间平滑算法、文献［15］和文献［18］中的算法相当。
第二个实验对上述几种算法在不同快拍数下的均方根误差进行对比。实验采用阵元间距[d=λ/2]，阵元数[M=15]的均匀线阵，信噪比为0 dB。在3个相干信号源入射角度为［-10°，20°，30°］的条件下，快拍数从100变化至1 000，大约每间隔100进行300次蒙特卡罗实验，得到不同快拍数条件下的各算法的均方根误差图像，如图3（b）所示。图3（b）表明，在快拍数逐渐增加的过程中，所有算法的估计性能都在提高，其中本文算法的估计性能最好，其次是文献［15］和文献［18］中的算法，传统的空间平滑、矩阵分解法和矢量奇异值法估计性能要差一些。
第三个实验对上述几种算法在不同阵元数条件下的均方根误差进行对比。采用阵元间距[d=λ/2]，信噪比为0 dB，快拍数为200。在3个相干信号源入射角度为［-10°，20°，30°］的条件下，阵元数从15变化至25，每间隔1进行300次蒙特卡罗实验，得到不同阵元数条件下的各算法的均方根误差图像，如图3（c）所示。图3（c）表明，随着阵元数的变化，本文算法与文献［15］和文献［18］中的算法性能相近，且阵元数过大时，这3种算法和空间平滑算法的性能都有所下降，这是因为这四种算法都利用了空间平滑的原理，阵元数增大时没有增加子阵数，阵元数过大时损失了太多的数据信息。
4 结 论
首先介绍基础的空间平滑算法和前后向空间平滑，然后针对传统空间平滑算法只利用对角线上的子阵信息的问题，介绍了两种改进的空间平滑方法，分别将空间平滑算法中的子阵进行了互相关和进行自相关后再进行互相关，充分利用协方差矩阵的信息，并且加强了协方差矩阵主对角线上的数据的影响力。为了提高空间平滑算法的解相干性能，将两种改进的空间平滑算法产生的前向平滑修正矩阵和后向平滑修正矩阵分别相加，得到新的前向平滑矩阵和后向平滑矩阵，再通过矩阵分解法进行组合，保留了前向平滑矩阵和后向平滑矩阵的所有信息，对组合后的矩阵进行奇异值分解得出噪声子空间，通过噪声子空间来完成信号估计。最后经过仿真实验表明在多种条件下的均方根误差指标相较原算法均有所改善，由此可知，该算法在信号相干条件下能精确地估计入射角度。通过对多种条件下各个算法的均方根误差综合计算得出，本文算法相对于现有算法在信噪比相同时估计性能提高了9%，验证了本文算法的估计效果要优于原算法和其它改进的空间平滑算法。