《武汉工程大学学报》 2008年01期
125-126
出版日期：2008-01-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
基于排队的服务系统的最小成本
服务系统在市场中的竞争力更多的体现在服务总成本和服务时间的长短上.于是，在服务过程中，降低服务成本为大多服务单位越来越重视的一个环节［1］.随着市场经济的发展与完美，降低服务成本是降低总成本、获取利润、提升服务机构竞争力的重要手段［2］.本文主要考虑的是服务系统中的成本问题.在综合考虑各种成本问题的基础上，优化服务系统的成本，使得总成本为最小.1假设及说明假设不同顾客先后随机到达服务机构处.a. 输入过程：据观察，被服务的顾客的到达流基本满足平稳性、无后效性及普通性，因而假设商品输入流为Poisson流［2］，单个到达,来源无限.b．排队规则：等待制.先到者先服务，系统容量有限，但通常几乎不发生顾客数到达限额的现象，因此认为容量近似无限.c．服务机构：顾客单个接受服务.现以m表示服务系统服务台数目，服务台的服务时间具有无记忆性，即服从负指数分布［3］，且每个服务台的服务时间独立. 2排队模型及主要指标2.1排队模型分析如果顾客到达时系统中无其它顾客，则到达者马上接受服务，如果系统中已经有顾客正在接受服务，则到达者排队等候，顾客接受完服务后马上离开.该排队系统是一个单排队多通道服务的排队系统.顾客的输入流是Poisson流，服务台的服务时间均服从负指数分布［4］.则排队模型如图1.图1服务系统排队模型图
Fig.1The diagram of queue model of service system服务台处一般不同，服务台不加区别，此排队系统模型为M/M/m/∞［5］. 2.2排队模型的主要指标该排队系统是状态有限的生死过程，平稳解存在.设顾客Poisson流到达的参数为λ，服务率为μ，则有：系统的服务强度：ρ=λmμ.系统空闲的概率：
p0=∑m-1n=0λμnn!+λμm!1-λmμ-1.队列中平均顾客数：
Lq=λμλμn(m-1)!(mμ-λ)2p0.到达者未获得即时服务的平均等候时间：
Wa=1mμ-λ.顾客在队列中平均等候时间：Wq=Lq/λ.到达者必须等候服务的概率：pq=Wq/Wa.3最优化问题服务系统的设计常常考虑平衡服务成本与系统中的期望顾客等候成本.顾客的等候成本指因顾客等候而发生的成本.根据通道数可以确定，最佳服务能力是使顾客等候成本与服务能力成本之和最小的服务能力.则总成本为：总成本=顾客等候成本+服务能力成本.进行综合考察，求出最佳的服务台数.若服务水平固定，则排队损失费是服务台数的减少函数，服务费是服务台数的增函数.当总费用的最小值存在时，对应的服务台数目即为最优服务台数.第1期孙霞林，等：基于排队的服务系统的最小成本
武汉工程大学学报第30卷
对于系统M/M/m/∞，设每位顾客在系统中逗留单位时间损失费用为C1元，服务系统单位时间服务费为元，则单位时间平均总费用为［4］：F=C1N(m)+C2mμ, m≥1用边际分析法，求解最优的m*，使F(m*)≤F(m*+1)
F(m*)≤F(m*-1).即m*必须满足N(m*)-N(m*-1)≤C2μC1≤N(m*-1)-N(m*).对n=1,2,3,…，计算相邻二值之差N(m)-N(m+1).若C2μC1落在某区间
［N(m*)-N(m*-1),N(m*-1)-N(m*)］
内，则对应m*的即为最佳的服务台数.4实例分析考查某卸货公司得知，上班时间卡车到达库房的速度是每小时15辆，职工的卸货速度是每小时5辆卡车.最近的工资变化引发了库房管理者对使用多少职工问题重新思考.新工资制度是：职工与卡车的停靠成本为每小时100元，卡车和司机的成本是每小时120元.这里ρ=λμ=155=3.令Ls=Lq+λμ，可得系统的总成本F=100 m+120 Ls，计算指标如表1.表1排队系统基本指标 Table 1 The basic index of queue system职工规模(人)系统中的平均卡车数系统中没有卡车的概率p041.5250.03850.3350.04760.0990.04970.0280.050由表1即可算出系统总成本，如表2.表2排队系统成本Table 2The cost of queue system
职工规模职工成本停靠成本系统总成本4400543.36943.365500402.48902.486600371.88971.087700363.361 063.36由结果看出，该卸货公司有5名卸货工人时可使得系统总成本最低，为最优解.5结语本文用排队论的方法分析了某些服务系统，结合具体服务情况估计总费用的思想，设定适当数目服务台，降低系统服务总成本，适应了新经济时代的个性化服务趋势.了解运用这些对于降低系统服务总成本和提高服务业整体竞争具有很强的现实意义.