有限时间热力学（finite time thermodynamics，FTT）［1-3］以系统的约束条件为基础，旨在研究热力学系统在限制条件内实现最佳性能的方法和策略。近年来，学者们［4-6］将FTT的研究范围扩展至量子力学领域［7-8］。在量子力学的框架下研究热力学系统，探索量子效应对热力学规律的影响，有助于深化对量子系统的理解，拓展热力学的基础理论。随着量子技术的快速发展，量子热力学的研究也成为实际应用的重要组成部分，利用一些常见的量子工质如1/2自旋粒子、谐振子、量子气体等，可以构建多种不同的量子循环模型，研究其热力性质与性能参数，验证量子效应对热力学系统的影响，优化其运行区间，并进一步推动量子热力学的发展。
1984年，Kosloff［9］ 介绍了量子热机的基本原理。随着时间的推移，一系列深入的研究逐渐揭示了量子效应在能量转换中的重要作用。2014年，吴锋等［10］建立了量子斯特林热机模型，使热机在量子工质方向有了进展。2017年，殷勇等［11］建立了量子斯特林制冷循环模型，对制冷循环的最优性能进行优化。2019年，Thomas 等［12］深化了对量子斯特林循环能级结构和工作原理的理解，为量子热机的理论建模和实现奠定了基础。2021年，Chatterjee等［13-14］进一步拓展了量子斯特林循环的理论模型，强调了量子熵在量子热力学过程中的关键角色。2022年，Myers等［15-16］的研究则集中在探索二核金属复合物作为工质，展示了通过外部压力控制磁耦合调节量子关联度和能级的方法。这些累积的研究成果不仅促进了量子热力学的理论发展，也为量子热机在能源转换和信息处理领域的应用开辟了新的可能，展现了量子技术未来广泛的应用前景。
量子热力循环的研究融合了量子力学与热力学的原理，探索在量子层面上能量转换与传递的规律。不同于传统的热力学循环，量子热力循环利用量子态、量子相干性和量子纠缠等量子效应，旨在突破经典热力学极限，提升能量转换效率。这一研究方向对于开发高效能源技术、实现微观尺度的量子制冷以及量子计算中的热管理具有重要意义。
在探究热机性能目标函数时，功率和效率被视为最重要且广泛关注的两个指标［9，17］。此外，Hernández等［18］建立了一个新的优化基准，称为Ω函数（有用能量与损失的有用能之差）。通过使用Ω函数优化，可以得到最大有用能量和最大效率之间的性能边界，并且不需要熵的表达式。随后，许多学者［19-21］将Ω函数作为目标函数来分析和优化不同的热力循环。本文采用相对论粒子作为工质，基于文献［10］中建立的二能级量子斯特林热机模型，考虑高低温热源间的热漏，导出该斯特林循环的输出功、无量纲功率和效率，并引入Ω函数，分析不同约束条件下的性能极值，得到各性能之间的优化关系，研究结果有利于了解斯特林热机的最优热力性能。
1 理论模型
循环的工质为一维无限深势阱中的粒子，粒子的质量或有效质量为0，所以需考虑相对论效应。势阱宽度介于L1和L2之间［10］，循环的E-L图（E为粒子能量，L为势阱宽度）如图1所示。循环由等温吸热、等容放热、等温放热、等容吸热过程组成。在等温吸热过程中，粒子通过内部能量通道与高温热源换热，吸收一定的热量，通过势阱宽度的变化对外界做功；在等容放热过程中，势阱宽度保持不变，粒子释放一定热量给蓄热材料；在等温放热过程中，粒子通过内部能量通道与低温热源换热，粒子释放出一定热量，外界通过势阱宽度的变化对粒子做功；在等容吸热过程中，势阱宽度保持不变，蓄热材料释放一定热量给粒子。参照经典热力学的结论，量子系统中内能不变的过程为量子等温过程，势阱宽度不变的过程为量子等容过程［22］。因此，该循环为量子斯特林热机循环。
<G:\武汉工程大学\2025\第1期\方馨婷-1.tif>[E / eV][2 3
1 4][L1][L2][L / ?]
图 1 量子斯特林热机循环
Fig. 1 Quantum Stirling heat engine cycle
仅考虑基态和激发态两个能级，图2描述了该量子循环中粒子在各个能级占有概率的变化过程，其中，n（n=1，2）表示粒子所处能级。状态点1到状态点2（过程1→2）是一个内部回热过程，在状态点1时，粒子只处于基态，在该过程中，粒子从内部蓄热材料吸收热量，向第一激发态跃迁，在状态点2时，粒子在基态与第一激发态都有一定的占有概率。过程2→3粒子的内能eh保持不变，从高温热源吸收热量跃迁到第一激发态。过程3→4也是一个内部回热过程，粒子通过内部能量通道向回热器中的储热材料放热，在状态点4，粒子以不同的概率处于基态和激发态上。过程4→1粒子的内能ec保持不变，向外界释放热量回到基态，完成一个循环。经计算可知，在理想情况下，量子斯特林热机能够实现理想的回热效果［22］，即回热过程1→2中吸收的热量与回热过程3→4中释放的热量相等。
<G:\武汉工程大学\2025\第1期\方馨婷-2.tif>[n=2][n=1][2][3][n=2][n=1][n=2][n=1][n=2][n=1][1][4][E=eh][E=ec][L=L1][L=L2]
图 2 粒子跃迁的能级模型
Fig. 2 Energy level model for particle transiton
2 量子力学分析
考虑相对论效应时， 粒子的质量或有效质量为0，粒子的能量e表示为：
[e=cq] （1）
式中：q为动量，MeV；c为光速，m/s。
波函数φ（L）满足［23-24］：
[?2c2d2?LdL2+e2?L=0] （2）
式中：[?]为约化普朗克常量，J·s。
粒子能量本征值e0为［23-24］：
[e0=hc2Lm ] （3）
式中：h为普朗克常量，J·s；m为量子数。
由边界条件φ（0）=0、φ（∞）=0，得二能级粒子在状态点i的能量期望值ei为：
[ei=n=12pinein=hc2Li2-pi1] （4）
式中：i=1、2、3、4分别对应状态点1~状态点4；pin为在状态点i时粒子处于第n个能级的占有概率，对任意状态点i，pin满足归一化条件（即pi1+pi2=1）；ein为在状态点i时粒子处于第n个能级具有的能量。
由于在状态点1粒子处于基态，在状态点3粒子处于激发态，可得：
[p11=1]， [p12=0] ， [p31=0] ， [p32=1]
因此粒子在4个瞬态的总能量分别为［10］：
[e1=hc2L1 ] ， [e2=hc2L12-p21]
[e3=hcL2] ， [e4=hc2L22-p41]
设过程2→3中粒子在基态的占有概率为ph1， 过程4→1中粒子在基态的占有概率为pc1，则过程中系统总能量为：
[E23=hc2L2-ph1] ， [E41=hc2L2-pc1]
量子系统中内能不变的过程为量子等温过程，所以e2=e3=E23，e4=e1=E41，故可得：
[hc2L12-p21=hcL2=hc2L2-ph1] （5）
[hc2L1=hc2L22-p41=hc2L2-pc1] （6）
3 主要性能参数
根据量子热力学知识可得系统吸收的热量（Q）、功（W）分别表示为：
[dQ=n=12eindpin, dW=n=12pindein]
在量子循环中，系统通过势阱壁的运动对外做功。
根据文献［24］可得粒子作用于势阱壁上的力F：
[F=-dWdL=n=12pindeindL=n=12pinhc2L2n] （7）
将式（5-6）代入式（7），可得系统在过程2→3和过程4→1中作用在势阱壁上的力分别为：
[F23=-hc2L22-ph1=-hc2LL12-p21] （8）
[F41=-hc2L22-pc1=-hc2LL22-p41] （9）
系统在等温过程2→3中从外部热源吸收的热量Q23等于该过程系统对外所做的功W23：
[Q23=W23=-L1L2F23dL=hc2L12-p21lnL2L1]（10）
同理，系统在等温过程4→1中向外部热源放出的热量Q41为：
[Q41=-L1L2F41dL=hc2L22-p41lnL2L1] （11）
基于文献［11］和文献［17］所提出的处理方案，在考虑高低温热源之间存在热漏Qr的情况下，设：
[Qr=αhc2L2] （12）
式中，α为比例系数，是一个常数。
考虑到热漏Qr的影响，将高温热源和系统之间的热交换量表示为Qh，低温热源和系统之间的热交换量表示为Qc，则：
[Qh=Q23+Qr=hc2L12-p21lnL2L1+Qr]
（13）
[Qc=Q41+Qr=hc2L22-p41lnL2L1+Qr]
（14）
在两个回热过程中，有：
[Q12=e2-e1, Q34=e4-e3]
由于e2=e3，e4=e1，可得 Q12=|Q34|，即量子斯特林热机可以实现理想回热［10］。
由式（5-6）可得：
[p21=21-L1L2] ， [p41=2-L2L1]
联立式（5-14）并化简可得量子斯特林热机每一循环的输出功为：
[W=Qh-Qc=hc2L12L1L2-1lnL2L1] （15）
给定L1，并令势阱宽度比x=L2/L1，可得无量纲输出功W*为：
[W*=Whc2L1=2x-1lnx] （16）
可得效率η为：
[η=WQh=2-x2+αlnx] （17）
令?η/?x=0，设此时x取值为xm，得到循环的最大循环效率ηmax为：
[ηmax=xmln2xmα] （18）
式中，xm满足关系式[α2-xmxmln2xm=2+αlnxm]。
根据文献［24-25］对周期的处理方法可将整个循环的周期τ表示为：
[τ=τ12+τ34+τ23+τ41=2L2-L1v+2TH-TLM] （19）
式中：M是与回热材料特性有关的常数，TH与TL为高/低温热源的温度，v为势阱壁平均运动速度，由此可得循环功率P为：
[P=Wτ=hcv4L21·2x-1lnxx-1+vTLMr-1] （20）
式中，r=TH/TL为高温热源与低温热源温度比。
无量纲功率P*=P/（hcv/（4L12））可表示为：
[P*=2x-1lnxx-1+vTLMr-1] （21）
由文献［26］可知，Ω函数定义为系统输入的有用能与损失的有用能之差，可得：
[Ω=Wout-Wmax-Wout=2Wout-Wmax] （22）
式中，Wout为有用能，Wmax为最大有用能。
Ω函数随时间的变化率Ω*=Ω/τ，联立式（17）和式（21）可得：
[Ω*=2η-ηmaxP*η=2α2-xlnx-xmln2xm2lnx+ααx2]
（23）
4 循环的性能分析和优化
计算时取高/低温热源温度比r=2，常数[ξ=vTLM=2]，代入到式（17）与式（20），可以分别得到该循环的效率η和无量纲功率P*与势阱宽度比x的关系曲线，如图3所示，易看出循环的效率与无量纲功率存在极大值。
<G:\武汉工程大学\2025\第1期\方馨婷-3.tif>[1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
x][0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
][η][0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
][P*][α=0.03
α=0.07
α=0.11
P*] 图 3 效率与无量纲功率和势阱宽度比的关系曲线
Fig. 3 The curve of η-x and P*-x
图4为热漏系数α不同时P*和η、Ω*和η的关系曲线，曲线均呈现出扭叶型。
由式（17）和式（21）可以绘出图4（a），由图4（a）可知，α对P*无影响，而对η的影响较显著。实际上，循环的η随α单调递减［10］。例如，在α=0.03时，存在1个无量纲功率最大值P*max（0.109）和与之相对应的效率ηmP（0.331），同样也存在1个最大的效率ηmax（0.389）及其对应的无量纲功率P*mη（0.075）。当α=0.07时，ηmP=0.311，P*max=0.109，ηmax=0.340，P*mη=0.091。α=0.11时，ηmP=0.290，P*max=0.109，ηmax=0.308，P*mη=0.098。可见，α越大，循环的最优设计区间越小。以α=0.07为例，将曲线分段，点（ηmP，P*max）到点（ηmax，P*mη）之间的区域为循环在效率与功率优化关系下的最优设计区间。
由式（17）和式（23）可以绘出图4（b），以α=0.07为例，可以看出存在1个Ω*max和对应的ηmΩ*，同时存在ηmax和相应的Ω*mη。当Ω*<Ω*max时，1个Ω*对应2个效率η1（η1<ηmΩ*）和η2（η2>ηmΩ*）。当η<ηmΩ*时，Ω*单调增加。当ηmax>η>ηmΩ*且Ω*mη>Ω*>Ω*max时，ηmax呈单调递减趋势。同样，1个η对应于2个Ω函数Ω*1（Ω*1<Ω*mη）和Ω*2（Ω*2>Ω*mη）。因此，点（ηmΩ*，Ω*max ）到点（ηmax，Ω*mη）之间的区域为循环在Ω函数与效率优化关系下的最优性能区间。
<G:\武汉工程大学\2025\第1期\方馨婷-4.tif>[0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
η][0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
][P*][α=0.03
α=0.07
α=0.11]<G:\武汉工程大学\2025\第1期\方馨婷-4-2.tif>[（ηmP，P*max）][（ηmax，P*mη）][（b）][（a）][0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
η][0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00][Ω*][α=0.03
α=0.07
α=0.11][（ηmΩ*，Ω*max）][（ηmax，Ω*mη）]
图4 无量纲功率与效率（a）、Ω*和效率（b）的关系曲线
Fig. 4 The curves of P*-η （a） and Ω*-η（b）
5 结 论
以囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子为工质，建立了二能级量子斯特林热机循环模型，导出了循环无量纲功率P*、效率η、Ω函数随时间的变化率Ω*的解析式，研究了循环的最优性能，所得结论如下：
（1）当势阱宽度比1<x<2（x=L2/L1）时，循环输出正功。P*与η的关系曲线呈现回原点的扭叶形，由点（ηmP，P*max）到点（ηmax，P*mη）构成的区间为该循环在功率与效率优化下的最优运行区间。
（2）Ω*与η的关系曲线呈现扭叶形，循环在Ω*函数与效率η优化关系下的最优性能区间为点（ηmΩ*，Ω*max）到点（ηmax，Ω*mη）之间的区域。